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證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是{an}的前n項(xiàng)和Sn=An2+Bn.

證明：充分性：由{an}的前n項(xiàng)Sn=An2+Bn，?

∴n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=An2+Bn-［A（n-1）2+B（n-1）］

=2A·n+B-A?

∵a1=S1=A+B滿足上式，?

∴an=2An+B-A，n∈N*，?

∴an+1-an=［2A（n+1）+B-A］-［2An+B-A］=?2A，

∴{an}為等差數(shù)列.?

必要性：∵{an}是等差數(shù)列,?

∴Sn=na1+n（n-1）d

=n2+（a1-）n?

令=A,a1-=B,

∴Sn=An2+Bn.?

綜上，數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是Sn=An2+Bn.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

等差數(shù)列{an}的公差d不為零，首項(xiàng)a1=1，a2是a1和a5的等比中項(xiàng)．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn
（2）證明數(shù)列{2an}為等比數(shù)列；
（3）求數(shù)列{
1an•an+1
}的前n項(xiàng)和Tn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•重慶一模）設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意n∈N*，2
Sn
是an+2 和an的等比中項(xiàng)．
（Ⅰ）證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明
1
S1
+
1
S2
+…+
1
Sn
＜1；
（Ⅲ）設(shè)集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使對(duì)滿足n＞m 的一切正整數(shù)n，不等式2Sn-4200＞
an2
2
恒成立，求這樣的正整數(shù)m共有多少個(gè)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：江蘇省月考題 題型：解答題

設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意n∈N*，2是an+2 和an的等比中項(xiàng)．
（Ⅰ）證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明++…+＜1；
（Ⅲ）設(shè)集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使對(duì)滿足n＞m 的一切正整數(shù)n，不等式2Sn﹣4200＞恒成立，求這樣的正整數(shù)m共有多少個(gè)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年江蘇省泰州市泰興三高高三（下）期初數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意n∈N*，2是an+2 和an的等比中項(xiàng)．
（Ⅰ）證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明++…+＜1；
（Ⅲ）設(shè)集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使對(duì)滿足n＞m 的一切正整數(shù)n，不等式2Sn-4200＞恒成立，求這樣的正整數(shù)m共有多少個(gè)？

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設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，已知對(duì)任意n∈N*，2是an+2 和an的等比中項(xiàng)．
（Ⅰ）證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）證明++…+＜1；
（Ⅲ）設(shè)集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使對(duì)滿足n＞m 的一切正整數(shù)n，不等式2Sn-4200＞恒成立，求這樣的正整數(shù)m共有多少個(gè)？

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