Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=4lnx+ax²+bx（a，b∈R），f'（x）是f（x）的導函數(shù)，且1和4分別是f（x）的兩個極值點．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在區(qū)間（2m，m+1）上單調(diào)遞減，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，由于1和4分別是f（x）的兩個極值點，可得1和4分別是f′（x）=0的兩根，解出即可得出．
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的遞減區(qū)間，根據(jù)集合的包含關(guān)系求出m的范圍即可．

解答 解：（1）$f'（x）=\frac{4}{x}+2ax+b$=$\frac{{2a{x^2}+bx+4}}{x}$（x＞0），
 由題意可得：1和4別是f'（x）=0的兩根，
即$1+4=-\frac{2a}$，$1×4=\frac{4}{2a}$，解出：a=$\frac{1}{2}$，b=-5，
∴f（x）=4lnx+$\frac{1}{2}$x²-5x．　　　　　　　　　　　　　　　　
（2）由上得f′（x）=$\frac{4}{x}$+x-5=$\frac{（x-1）（x-4）}{x}$（x＞0），
由f′（x）＜0⇒1＜x＜4．
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}2m≥1\\ 2m＜m+1\\ m+1≤4\end{array}\right.$，
解得：m的取值范圍：$[{\frac{1}{2}，1}）$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值點問題，考查導數(shù)的應用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．