Question

（2013•鹽城三模）將一張長8cm，寬6cm的長方形的紙片沿著一條直線折疊，折痕（線段）將紙片分成兩部分，面積分別為S₁cm²，S₂cm²，其中S₁≤S₂．記折痕長為lcm．
（1）若l=4，求S₁的最大值；
（2）若S₁：S₂=1：2，求l的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）不妨設(shè)紙片為長方形ABCD，AB=8cm，AD=6cm，其中點(diǎn)A在面積為S₁的部分內(nèi)．折痕有下列三種情形：①折痕的端點(diǎn)M，N分別在邊AB，AD上；②折痕的端點(diǎn)M，N分別在邊AB，CD上；③折痕的端點(diǎn)M，N分別在邊AD，BC上．易判斷l(xiāng)=4為情形①，設(shè)AM=xcm，AN=ycm，則x²+y²=16．利用不等式即可求得S₁的最大值；
（2）由題意知，長方形的面積為S=6×8=48，因?yàn)镾₁：S₂=1：2，S₁≤S₂，所以S₁=16，S₂=32，按三種情形進(jìn)行討論：根據(jù)S₁的面積可把折痕l表示為函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的特點(diǎn)可用導(dǎo)數(shù)或二次函數(shù)性質(zhì)分別求得l的范圍，綜上即可求得l的范圍；

解答：解：如圖所示：不妨設(shè)紙片為長方形ABCD，AB=8cm，AD=6cm，其中點(diǎn)A在面積為S₁的部分內(nèi)．折痕有下列三種情形：

情形①情形②情形③
①折痕的端點(diǎn)M，N分別在邊AB，AD上；
②折痕的端點(diǎn)M，N分別在邊AB，CD上；
③折痕的端點(diǎn)M，N分別在邊AD，BC上．
（1）在情形②③中，MN≥6，故當(dāng)l=4時(shí)，折痕必定是情形①．
設(shè)AM=xcm，AN=ycm，則x²+y²=16．
因?yàn)閤²+y²≥2xy，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)，
所以S1=

1

2

xy≤4，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2

2

時(shí)取等號(hào)，即S₁的最大值為4．
（2）由題意知，長方形的面積為S=6×8=48，
因?yàn)镾₁：S₂=1：2，S₁≤S₂，所以S₁=16，S₂=32．
當(dāng)折痕是情形①時(shí)，設(shè)AM=xcm，AN=ycm，則

1

2

xy=16，即y=

32

x

，
由

0≤x≤8 0≤ 32 x ≤6

，解得

16

3

≤x≤8，
所以l=

x2+y2

=

x2+ 322 x2

，

16

3

≤x≤8，
 設(shè)f（x）=x2+

322

x2

，x＞0，則f′(x)=2x-

2×322

x3

=

2(x2+32)(x+4 2 )(x-4 2 )

x3

，x＞0，
故當(dāng)x∈（

16

3

，4

2

）時(shí)f′（x）＜0，f（x）遞減，當(dāng)x∈（4

2

，8）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，且f（

16

3

）=64

4

9

，f（8）=80，
所以f（x）的取值范圍為[64，80]，從而l的范圍是[8，4

5

]．
當(dāng)折痕是情形②時(shí)，設(shè)AM=xcm，DN=ycm，則

1

2

(x+y)×6=16，即y=

16

3

-x，
由

0≤x≤8 0≤ 16 3 -x≤8

，解得0≤x≤

16

3

，
所以l=

62+(x-y)2

=

62+4(x- 8 3 )2

，0≤x≤

16

3

，
所以l的范圍為[6，

2 145

3

]；
當(dāng)折痕是情形③時(shí)，設(shè)BN=xcm，AM=ycm，則

1

2

(x+y)×8=16，即y=4-x，
由

0≤x≤6 0≤4-x≤6

，得0≤x≤4，所以l=

82+(x-y)2

=

82+4(x-2)2

，0≤x≤4，
所以l的取值范圍為[8，4

5

]，
綜上，l的取值范圍為[6，4

5

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)、不等式求函數(shù)的最值，考查分類討論思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力．