Question

已知函數(shù)f（x）=x²+2ax，g（x）=3a²lnx+b．
（Ⅰ）設(shè)兩曲線y=f（x）與y=g（x）有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處的切線相同，若a＞0，試建立b 關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，并求b的最大值；
（Ⅱ）若b∈[0，2]，h（x）=f（x）+g（x）-（2a-b）x在（0，4）上為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)公共點(diǎn)（x，y），根據(jù)題意得到，f（x）=g（x），f′（x）=g′（x），解出b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，然后利用導(dǎo)數(shù)研究b關(guān)于a的函數(shù)的單調(diào)性，從而求出b的最大值；
（II）要使h（x）在（0，4）上單調(diào)，須h′（x）≤0或h′（x）≥0在（0，4）上恒成立，①當(dāng)h′（x）≤0時(shí)，x+≤b，根據(jù)b∈[0，2]，只需x+≤0而x∈（0，4）則a不存在，②當(dāng)h′（x）≥0時(shí)x+≥b，而b∈[0，2]，只需x+≥2即3a²≥x（2-x）恒成立，根據(jù)x∈（0，4）可求出不等式右邊的最大值，建立不等式解之即可求出a的取值范圍．
解答：解：（I）設(shè)y=f（x）與y=g（x）（x＞0）在公共點(diǎn)（x，y）處的切線相同．
f′（x）=x+2a，g′（x）=．
由題意知f（x）=g（x），f′（x）=g′（x）
即 ，
解得x=a或x=-3a（舍去），
b（a）=-3a²lna（a＞0）
b'（a）=5a-6alna-3a=2a（1-3lna）
b'（a）＞0??0＜a＜
b'（a）＜0??a＞
可見b（a）_max=b（）=
（II）h（x）=x²+3a²lnx-bx，h′（x）=x+-b
要使h（x）在（0，4）上單調(diào)，須h′（x）≤0或h′（x）≥0在（0，4）上恒成立．
①當(dāng)h′（x）≤0時(shí)，x+-b≤0∴x+≤b
∵b∈[0，2]，只需x+≤0∵x∈（0，4）∴a不存在
②當(dāng)h′（x）≥0時(shí)，x+-b≥0∴x+≥b
∵b∈[0，2]，只需x+≥2
∴3a²≥x（2-x）恒成立
∵x∈（0，4）∴3a²≥1解得：a≥或a≤-．
綜上，所求a的取值范圍為a≥或a≤-．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程和恒成立問題，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．