Question

7．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對(duì)任意n∈N^*，點(diǎn)（n，S_n）都在函數(shù)f（x）=2x²-x的圖象上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=${2}^{\frac{{a}_{n}+1}{2}}$，求log₂（b₁•b₂•b₃•b₄•b₅）的值及{b_n}的前n項(xiàng)和B_n．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)（n，S_n）都在函數(shù)f（x）=2x²-x的圖象上，可得${S}_{n}=2{n}^{2}-n$，利用當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1即可得出．
（2）b_n=${2}^{\frac{{a}_{n}+1}{2}}$=2^2n-1，利用對(duì)數(shù)與指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得log₂（b₁•b₂•b₃•b₄•b₅），利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出{b_n}的前n項(xiàng)和B_n=2+2³+…+2^2n-1．

解答 解：（1）∵點(diǎn)（n，S_n）都在函數(shù)f（x）=2x²-x的圖象上，
∴${S}_{n}=2{n}^{2}-n$，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=1；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n²-n-[2（n-1）²-（n-1）]=4n-3，
當(dāng)n=1時(shí)上式也成立，
∴a_n=4n-3．
（2）b_n=${2}^{\frac{{a}_{n}+1}{2}}$=2^2n-1，
∴l(xiāng)og₂（b₁•b₂•b₃•b₄•b₅）=$lo{g}_{2}（2•{2}^{3}•…•{2}^{9}）$=$lo{g}_{2}{2}^{25}$=25．
∴{b_n}的前n項(xiàng)和B_n=2+2³+…+2^2n-1=$\frac{4（{4}^{n}-1）}{4-1}$=$\frac{4}{3}（{4}^{n}-1）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、對(duì)數(shù)與指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、遞推式的應(yīng)用，考查了變形能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．