Question

已知圓C經過原點O，與x軸另一交點的橫坐標為4，與y軸另一交點的縱坐標為2，
（1）求圓C的方程；
（2）已知點B的坐標為（0，2），設P，Q分別是直線l：x+y+2=0和圓C上的動點，求|PB|+|PQ|的最小值及此時點P的坐標．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：直線與圓

分析：（1）結合條件即可求圓C的方程；
（2）求出點B關于直線l：x+y+2=0的對稱點，根據對稱性的性質即可得到結論．

解答： 解：（1）∵圓C經過原點O，與x軸另一交點的橫坐標為4，與y軸另一交點的縱坐標為2，
即點A（4，0），B（0，2）是圓的一條直徑，
則圓心坐標為（2，1）．半徑r=

5

，
則圓的方程為（x-2）²+（y-1）²=5．
（2）點B關于直線l：x+y+2=0的對稱點為B′（-4，-2），
則|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，
又B′到圓上的點的最短距離為|B′C|-r，
∴|PB|+|PQ|的最小值為2

5

，
直線B′C的方程為y=

1

2

x，
則直線B′C與直線x+y+2=0的交點P的坐標滿足

y= 1 2 x x+y+2=0

，
解得

x=- 4 3 y=- 2 3

，即P（-

4

3

，-

2

3

）．

點評：本題主要考查直線和圓的方程的求解和應用，根據直線的對稱性是解決本題的關鍵．