Question

18．以下關(guān)于導(dǎo)數(shù)和極值點(diǎn)的說法中正確的是（　�。�

• A． 可導(dǎo)函數(shù)f（x）為增函數(shù)的充要條件是f'（x）＞0．
• B． 若f（x）可導(dǎo)，則f'（x₀）=0是x₀為f（x）的極值點(diǎn)的充要條件．
• C． f（x）在R上可導(dǎo)，若?x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞2017$，則?x∈R，f'（x）＞2017．
• D． 若奇函數(shù)f（x）可導(dǎo)，則其導(dǎo)函數(shù)f'（x）為偶函數(shù)．

Answer 1

分析 在A中，可導(dǎo)函數(shù)f（x）為增函數(shù)的充分不必要條件是f'（x）＞0；在B中，f′（x₀）=0是x₀為函數(shù)f（x）極值點(diǎn)的必要而不充分條件；在C中，?x∈R，f'（x）＞0；在D中，由f（x）是奇函數(shù)，能推導(dǎo)出f'（-x）=f'（x）．

解答 解：在A中，可導(dǎo)函數(shù)f（x）為增函數(shù)的充分不必要條件是f'（x）＞0，故A錯(cuò)誤；
在B中，f′（x₀）=0是x₀為函數(shù)f（x）極值點(diǎn)的必要而不充分條件，
導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)不一定為極值點(diǎn)，
例如函數(shù)f（x）=x³，而f′（0）=0，但是此函數(shù)單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；
在C中，f（x）在R上可導(dǎo)，若?x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，$\frac{{f（{x_1}）-f（{x_2}）}}{{{x_1}-{x_2}}}＞2017$，
則?x∈R，f'（x）＞0，故C錯(cuò)誤；
在D中，∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），
兩邊取導(dǎo)數(shù)，則（f（-x））'=（-f（x））'，∴f'（-x）（-x）'=-f'（x），
∴-f'（-x）=-f'（x），∴f'（-x）=f'（x），∴f'（x）是偶函數(shù)，故D正確．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查命題真假的判斷，涉及到導(dǎo)數(shù)、極值點(diǎn)、函數(shù)單調(diào)性、奇偶性等基礎(chǔ)知識，是中檔題．