Question

7．已知非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夾角為60°，$\overrightarrow c=\overrightarrow a-k\overrightarrow b（k∈R）$，則$\frac{|\overrightarrow a|}{|\overrightarrow c|}$的最大值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)條件求$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}}{{\overrightarrow{c}}^{2}}=\frac{1}{{k}^{2}（\frac{|\overrightarrow|}{|\overrightarrow{a}|}）^{2}-k（\frac{|\overrightarrow|}{|\overrightarrow{a}|}）+1}$，從而需求$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}}{{\overrightarrow{c}}^{2}}$的最大值：k=0時(shí)，顯然$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow|}=1$；k≠0時(shí)，${k}^{2}（\frac{|\overrightarrow|}{|\overrightarrow{a}|}）^{2}-k（\frac{|\overrightarrow|}{|\overrightarrow{a}|}）+1$可以看成關(guān)于$\frac{|\overrightarrow|}{|\overrightarrow{a}|}$的二次函數(shù)，這樣即可求其最小值為$\frac{3}{4}$，從而$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}}{{\overrightarrow{c}}^{2}}$取到最大值$\frac{4}{3}$，從而求出$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{c}|}$的最大值．

解答 解：${\overrightarrow{c}}^{2}={\overrightarrow{a}}^{2}-2k\overrightarrow{a}•\overrightarrow+{k}^{2}{\overrightarrow}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}-k|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|+{k}^{2}{\overrightarrow}^{2}$；
∴$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}}{{\overrightarrow{c}}^{2}}=\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}}{{\overrightarrow{a}}^{2}-k|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|+{k}^{2}{\overrightarrow}^{2}}$=$\frac{1}{{k}^{2}（\frac{|\overrightarrow|}{|\overrightarrow{a}|}）^{2}-k（\frac{|\overrightarrow|}{|\overrightarrow{a}|}）+1}$；
（1）若k=0，則$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}}{{\overrightarrow{c}}^{2}}=1$；
∴$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow|}=1$；
（2）若k≠0，${k}^{2}（\frac{|\overrightarrow|}{|\overrightarrow{a}|}）^{2}-k（\frac{|\overrightarrow|}{|\overrightarrow{a}|}）+1$的最小值為$\frac{4{k}^{2}-{k}^{2}}{4{k}^{2}}=\frac{3}{4}$，則：
$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}}{{\overrightarrow{c}}^{2}}$取到最大值為$\frac{4}{3}$；
∴$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{c}|}$取到最大值$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
綜上得$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{c}|}$的最大值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 考查數(shù)量積的計(jì)算公式，知道要求$\frac{|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{c}|}$的最大值，先去求$\frac{{\overrightarrow{a}}^{2}}{{\overrightarrow{c}}^{2}}$，注意不要漏了k=0的情況，二次函數(shù)的最值的計(jì)算公式．