Question

19．設(shè)函數(shù)f（x）=sin²x-sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和最大值；
（2）△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，c=3，f（$\frac{C}{2}$）=-$\frac{1}{4}$，若向量$\overrightarrow{m}$=（1，sinA）與$\overrightarrow{n}$=（2，sinB）共線，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解．
（2）由$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{n}$共線得，2sinA=sinB，再根據(jù)正弦定理得，2a=b．再根據(jù)c=3，cosC=$±\frac{1}{2}$，利用余弦定理求得a，b的值．

解答 解：（1）∵f（x）=sin²x-sin（2x-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1-cos2x}{2}$-（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x）=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$，f（x）_max=$\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}sin2{x}_{min}$=$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（2）∵由$\overrightarrow{m}$與$\overrightarrow{n}$共線得，2sinA=sinB，再根據(jù)正弦定理得，2a=b，
∵f（$\frac{C}{2}$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2×$\frac{C}{2}$）=-$\frac{1}{4}$，解得：sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0＜C＜π，可得cosC=$±\frac{1}{2}$，
∴根據(jù)余弦定理，c²=a²+b²-2abcosC，
=a²+4a²-2a•2a•（±$\frac{1}{2}$）=3a² ．
又c=3，所以a=$\sqrt{3}$，或$\frac{3\sqrt{7}}{7}$，b=2$\sqrt{3}$或$\frac{6\sqrt{7}}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示，余弦定理，同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，屬于基本知識(shí)的考查．