Question

已知△ABC的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，向量，滿足，且△ABC外接圓半徑為1．
（1）求sinA+sinB的取值范圍；
（2）若實數(shù)k滿足，試確定k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由，且△ABC外接圓半徑為1，可得 =，∴ab=4cosAcosB．
再由正弦定理可得 a=2r•sinA=2sinA，同理可得b=2sinB．
∴4sinAsinB=4cosAcosB，化簡可得cos（A+B）=0，∴A+B=．
由 sinA+sinB=2sincos=cos，∈（-，），可得 ＜cos≤1，∴1＜cos≤，
故sinA+sinB的取值范圍是（1，]．
（2）∵實數(shù)k滿足===+，A為直角三角形的一個銳角，
∴＞，＞，∴k＞1．
綜上可得 k的取值范圍（1，+∞）．
分析：（1）由兩個向量共線的性質可得 ab=4cosAcosB，再由正弦定理可得4sinAsinB=4cosAcosB，化簡求得 A+B=．由 sinA+sinB=2sincos=cos，
以及 ∈（-，），求出sinA+sinB的取值范圍．
（2）由實數(shù)k滿足=+，A為直角三角形的一個銳角，可得 ＞，＞，由此求得 k的取值范圍．
點評：本題主要考查兩個向量共線的性質，正弦定理的應用，角三角形中的邊角關系的應用，誘導公式的應用，屬于中檔題．