Question

3．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P為CD的中點，M為CC₁的中點，N為BC的中點．
（1）求證：A₁P⊥DN；
（2）求證：A₁PA⊥平面MND；
（3）求二面角M-DN-C的正切值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)證明DN⊥平面A₁AP即可證明A₁P⊥DN；
（2）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明A₁PA⊥平面MND；
（3）根據(jù)二面角的定義作出二面角的平面角，根據(jù)三角形的邊角關(guān)系即可求二面角M-DN-C的正切值．

解答 證明：（1）∵P為CD的中點，N為BC的中點．
∴DP=CN，AD=DC，AP=DN，
則△ADB≌△DCN，
則∠DPA=∠CND，
即OPCN四點共圓，
則以PN為直徑，則∠PON=90°，
即DN⊥AP，
∵A₁A⊥平面ABCD；
∴A₁A⊥DN，
∵A₁A∩AP=A，
∴DN⊥平面A₁AP，
∵A₁P?平面A₁AP，
∴DN⊥A₁P，
即A₁P⊥DN；
（2）由（1）知DN⊥平面A₁AP，DN?平面MND，
∴平面A₁PA⊥平面MND；
（3）∵C₁C⊥平面ABCD；
∴過C作CH⊥DN于H，連接C₁H，
則C₁H⊥DN，
即∠C₁HC是二面角M-DN-C的平面角，
設(shè)正方體的棱長為2，則CM=1，CD=2，CN=1，
則DN=$\sqrt{5}$，
∵CH•DN=CD•CN，
∴CH=$\frac{CD•CN}{DN}$=$\frac{2×1}{\sqrt{5}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
則二面角M-DN-C的正切值tan∠C₁HC=$\frac{CM}{CH}$=$\frac{1}{\frac{2}{\sqrt{5}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點評 本題主要考查空間線面垂直的性質(zhì)以及面面垂直的判定，以及二面角的求解，根據(jù)相應的判定定理以及作出二面角的平面角是解決本題的關(guān)鍵．考查學生的推理能力．