Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-|x-1|，x∈（-∞，2）}\\{\frac{1}{2}f（x-2），x∈[2，+∞）}\end{array}\right.$，則函數(shù)F（x）=xf（x）-1的零點(diǎn)的個數(shù)為（　　）

• A． 7
• B． 6
• C． 5
• D． 4

Answer 1

分析 由F（x）=0得f（x）=$\frac{1}{x}$，然后分別作出函數(shù)f（x）與y=$\frac{1}{x}$的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)．

解答 解：由F（x）=xf（x）-1=0得，f（x）=$\frac{1}{x}$，然后分別作出函數(shù)f（x）與y=g（x）=$\frac{1}{x}$的圖象如圖：
∵當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$f（x-2），
∴f（1）=1，g（1）=1，
f（3）=$\frac{1}{2}$f（1）=$\frac{1}{2}$，g（3）=$\frac{1}{3}$，
f（5）=$\frac{1}{2}$f（3）=$\frac{1}{4}$，g（5）=$\frac{1}{5}$，
f（7）=$\frac{1}{2}$f（5）=$\frac{1}{8}$，g（7）=$\frac{1}{7}$，
∴當(dāng)x＞7時(shí)，f（x）＜$\frac{1}{x}$，
由圖象可知兩個圖象的交點(diǎn)個數(shù)為6個．
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判斷，根據(jù)方程和函數(shù)之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題是解決本題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的基本思想．本題難度較大，綜合性較強(qiáng)．