Question

18．已知函數(shù)f（x）=log₃x+2，x∈（0，9]
（1）求函數(shù)g（x）=f（2sinx-1）+f（3$\sqrt{3}$tanx）的定義域．
（2）求函數(shù)h（x）=[f（x）]²+f（x²）的最小值及取最小值時(shí)對應(yīng)的x值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)的關(guān)于x的不等式組，解出即可；
（2）將f（x）=2+log₃x（0＜x≤9）代入y=[f（x）]²+f（x²）中，整理化簡為關(guān)于log₃x的函數(shù)，利用換元法求最值．

解答 解：（1）∵x∈（0，9]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜2sinx-1≤9}\\{0＜3\sqrt{3}tanx≤9}\end{array}\right.$，解得：2kπ+$\frac{π}{6}$＜x≤2kπ+$\frac{π}{3}$，
∴函數(shù)g（x）的定義域是：（2kπ+$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{3}$]；
（2）y=[f（x）]²+f（x²）=（log₃x）²+6log₃x+6，
∵f（x）=2+log₃x（0＜x≤9），
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜x≤9}\\{{0＜x}^{2}≤9}\end{array}\right.$，解得；0＜x≤3，
∴y=[f（x）]²+f（x²）=（log₃x）²+6log₃x+6的定義域是{x|0＜x≤3}．
令log₃x=t，因?yàn)?＜x≤3，所以t≤1，
則上式變?yōu)閥=t²+6t+6，t≤1，
y=t²+6t+6在（∞，-3）遞減，在（-3，1]上是增函數(shù)，
當(dāng)t=-3時(shí)，y取最小值-3．

點(diǎn)評 本題考查了對數(shù)函數(shù)以及三角函數(shù)的性質(zhì)，考查換元法求函數(shù)的值域問題，在使用換元法時(shí)，注意范圍．