Question

在底面是直角梯形的四棱錐S—ABCD中,∠ABC=90°,SA⊥面ABCD,SA=AB=BC=2AD.求面SCD與面SBA所成的二面角的余弦值.

Answer 1

剖析:顯然,本題中的二面角只有一個公共頂點,屬“無棱二面角”,若從定義法入手,必須再找一個公共點,容易發(fā)現(xiàn)BA、CD相交,可得交點E,則SE為二面角的棱.

解法一:(定義法)如圖,延長BA、CD交于E,連結SE,則SE為所求二面角的棱.

    ∵AD∥BC,BC=2AD,

    ∴EA=AB=SA.

    ∴△ESB是直角三角形,且SE⊥SB.

    又BC⊥AB,BC⊥SA,∴BC⊥平面SBE.

    ∴SB是SC在面SBE上的射影.

    ∴SE⊥SC.

    ∠BSC是所求二面角的平面角.

    在Rt△SAB中,易得SB=AB.

    在Rt△SBC中,SC==AB.

    cos∠BSC==,即面SCD與面SBA所成的二面角的余弦值為.

解法二:(射影法)如上圖,∵SA⊥面ABCD,∴SA⊥BC.

    又AB⊥BC,∴BC⊥面SAB,而AD∥BC,

    ∴AD⊥面SAB.

    ∴△SDC在面SAB上的射影是△SAB.

    于是cosθ=.

    ∵SA=AB=BC=2AD,

    ∴SB=AB,SC=AB.

    SD=DC=AB,

    易求得△SDC中SC邊上的高為,

    ∴S_△SDC=AB²,S_△SAB=AB².∴cosθ=.

    故所求二面角的余弦值是.