Question

拋物線C：y²=2px（p＞0），過拋物線C的焦點F（1，0）的直線l與拋物線交于A，B兩點，交y軸于點P．
（1）求證：|PF|²=|PA|•|PB|；
（2）過P作拋物線C的切線，切點為D（異于原點），是否存在常數(shù)λ，使得

1

kDA

+

1

kDB

=

λ

kDF

恒成立？

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)P（0，m），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F(xiàn)（1，0）．則直線l的方程為x+

y

m

=1，化為
y=m（1-x），與拋物線的方程聯(lián)立化為m²x²-（2m²+4）x+m²=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、兩點之間的距離公式即可得出．
（2）假設(shè)設(shè)D(x0，-2

x0

)，取y=-2

x

，則y′=-

1

x

，利用斜率計算公式和導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得：

x0

=-m．由（1）可得

x1

-

x2

=

x1+x2-2 x1x2

=-

2

m

．再利用斜率計算公式可得：k_DF=

2m

m2-1

，
k_DA=

2

x1 - x0

，k_DB=

-2

x2 + x0

．得到k_DF•(

1

kDA

+

1

kDB

)=

2m

m2-1

•

x1 - x2 -2 x0

2

=2．即可得出．

解答： （1）證明：設(shè)P（0，m），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F(xiàn)（1，0）．
則直線l的方程為x+

y

m

=1，化為y=m（1-x），
聯(lián)立

y=m(1-x) y2=4x

，化為m²x²-（2m²+4）x+m²=0，
∴x₁+x₂=2+

4

m2

，x₁x₂=1．
∴|PF|²=1+m²，
|PA||PB|=

x 2 1 +(y1-m)2

x 2 2 +(y2-m)2

=

x 2 1 +m2 x 2 1

x 2 2 +m2 x 2 2

=（1+m²）

(x1x2)2

=1+m²．
∴|PF|²=|PA|•|PB|．
（2）解：假設(shè)設(shè)D(x0，-2

x0

)，取y=-2

x

，則y′=-

1

x

，
∴切線PD的斜率=-

1

x0

=

-2 x0 -m

x0

，化為

x0

=-m．
∴

x1

-

x2

=

x1+x2-2 x1x2

=

2+ 4 m2 -2

=-

2

m

．
∴k_DF=

-2 x0

x0-1

=

2m

m2-1

，
k_DA=

2 x1 +2 x0

x1-x0

=

2

x1 - x0

，k_DB=

-2 x2 +2 x0

x2-x0

=

-2

x2 + x0

．
∴k_DF•(

1

kDA

+

1

kDB

)=

2m

m2-1

•

x1 - x2 -2 x0

2

=

2m

m2-1

•

-2 m +2m

2

=2．
∴存在常數(shù)λ=2，使得

1

kDA

+

1

kDB

=

λ

kDF

恒成立．

點評：本題考查了直線與拋物線相交相切問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)研究切線問題、斜率計算公式，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．