Question

【題目】如圖，三棱柱中， .

（Ⅰ）證明： ；

（Ⅱ）平面 平面， ，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2) .

【解析】試題分析：

(1)利用題意首先證得，然后利用線面垂直的定義即可證得題中的結(jié)論；

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合平面的法向量和直線的方向向量可得直線與平面所成角的正弦值是.

試題解析：

（1）證明：如圖所示，取的中點(diǎn)，連接， ， .因?yàn)?/span>，

所以.由于， ，

故為等邊三角形，所以.

因?yàn)?/span>，所以.

又，故

（2）由（1）知， ，又，交線為，

所以，故兩兩相互垂直.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)， 的方向?yàn)?/span>軸的正方向， 為單位長(zhǎng)，建立如圖（2）所示的空間直角坐標(biāo)系.由題設(shè)知，

則， ， .

設(shè)是平面的法向量，

則即可取故.

所以與平面所成角的正弦值為