Question

16．已知函數(shù)f（x）=2x²e^x與g（x）=3xe^x+a的圖象有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a=$\frac{9\sqrt{e}}{{e}^{2}}$或-e＜a≤0．

Answer 1

分析 令a=h（x）=2x²e^x-3xe^x，求導(dǎo)h′（x）=e^x（2x+3）（x-1），從而確定函數(shù)的單調(diào)性及極值，從而結(jié)合圖象解得．

解答 解：由題意得，2x²e^x=3xe^x+a，
∴a=h（x）=2x²e^x-3xe^x，
h′（x）=4xe^x+2x²e^x-3e^x-3xe^x
=e^x（2x²+x-3）
=e^x（2x+3）（x-1），
∴h（x）在（-∞，-$\frac{3}{2}$）上是增函數(shù)，在（-$\frac{3}{2}$，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)；
且h（1）=-e，h（-$\frac{3}{2}$）=$\frac{9\sqrt{e}}{{e}^{2}}$，且$\underset{lim}{x→-∞}$h（x）=0，
故作h（x）=2x²e^x-3xe^x的圖象如下，

結(jié)合圖象可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a=$\frac{9\sqrt{e}}{{e}^{2}}$或-e＜a≤0．
故答案為：a=$\frac{9\sqrt{e}}{{e}^{2}}$或-e＜a≤0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用．