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（1）已知x＞1，證明：x+
1x
＞2；
（2）已知為a，b，c正實數，證明：a2+b2+c2≥ab+bc+ca．
分析：（1）利用基本不等式可以證明，注意等號不能取；
（2）利用基本不等式，在相加，即可得出結論．
解答：證明：（1）∵x，
1
x
為正實數，∴x+
1
x
≥2
x•
1
x
=2，當且僅當x=1時取等號
又∵x＞1，∴不能取等號，∴x+
1
x
＞2（6分）
（2）∵a2+b2≥2ab（當且僅當a=b時取等號），b2+c2≥2bc（當且僅當b=c時取等號），a2+c2≥2ac（當且僅當a=b時取等號），
∴2（a2+b2+c2）≥2（ab+bc+ca）（當且僅當a=b=c時取等號）
∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca（12分）
點評：本題考查不等式的證明，考查基本不等式的運用，注意定理的使用條件．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=x3+bx2+（b2-1）x+1圖象的對稱中心為（0，1）；函數g(x)=ax3+
12
sinθ•x2-2x在 區(qū)間[-2，1）上單調遞減，在[1，+∞）上單調遞增．
（Ⅰ）求實數b的值；
（Ⅱ）求sinθ的值及g（x）的解析式；
（Ⅲ）設φ（x）=f（x）-g（x），試證：對任意的x1、x2∈（1，+∞）且x1≠x2，都有|φ（x2）-φ（x1）|＞2|x2-x1|．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
1+ln(x+1)
x
（x＞0），
（1）函數f（x） 在區(qū)間（0，+∞）上是增函數還是減函數？證明你的結論；
（2）證明：當x＞0時，f（x）＞
3
x+1
恒成立；
（3）試證：（1+1•2）（1+2•3）…[1+n（n+1）]＞e2n-3（n∈N*）．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=x2+
2
x
+alnx（x＞0），
（Ⅰ）若函數y=f（x）的圖象在x=1處的切線l在兩坐標軸上的截距相等，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在[1，+∞]上單調遞增，求a的取值范圍；
（Ⅲ）若定義在區(qū)間D上的函數y=f（x）對于區(qū)間D上的任意兩個值x1，x2總有以下不等式
1
2
[f（x1）+f（x2）≥f（
x1+x2
2
）成立，則稱函數y=f（x）為區(qū)間D上的“凹函數”．試證當a≤0時，f（x）為“凹函數”．

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科目：高中數學 來源：2013屆廣東省高二下學期期中文科數學試卷（解析版） 題型：解答題

（1）已知x , y>0,且x+y>2，試證中至少有一個小于2。

（2）已知|a|<1，|b|<1，求證：>1

 

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

仔細閱讀下面問題的解法：
設A=[0，1]，若不等式21-x-a＞0在A上有解，求實數a的取值范圍．
解：由已知可得　a＜21-x
令f（x）=21-x，不等式a＜21-x在A上有解，
∴a＜f（x）在A上的最大值
又f（x）在[0，1]上單調遞減，f（x）max=f（0）=2
∴a＜2即為所求．
學習以上問題的解法，解決下面的問題：
（1）已知函數f（x）=x2+2x+3 （-2≤x≤-1）求f（x）的反函數及反函數的定義域A；
（2）對于（1）中的A，設g（x）=數學公式x∈A，試判斷g（x）的單調性；（不證）
（3）又若B={x|數學公式＞2x+a-5}，若A∩B≠Φ，求實數a的取值范圍．

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