Question

10．若存在n∈N^*使得（ax+1）²ⁿ和（x+a）²ⁿ⁺¹（其中a≠0）的展開(kāi)式中含xⁿ項(xiàng)的系數(shù)相等，則a的最大值為$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出（ax+1）²ⁿ和（x+a）²ⁿ⁺¹的展開(kāi)式中含xⁿ項(xiàng)的系數(shù)，根據(jù)已知條件得到關(guān)于a，n的方程；分離出a看成關(guān)于n的函數(shù)，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性，求出a的范圍．

解答 解：設(shè)（x+a）²ⁿ⁺¹的展開(kāi)式為T_r+1，
則T_r+1=C_2n+1^rx^2n+1-ra^r，
令2n+1-r=n，
得r=n+1，
所以xⁿ的系數(shù)為C_2n+1ⁿ⁺¹aⁿ⁺¹．
由C_2n+1ⁿ⁺¹mⁿ⁺¹=C_2nⁿaⁿ，
得a=$\frac{n+1}{2n+1}$是關(guān)于n的減函數(shù)，
∵n∈N⁺，
∴$\frac{1}{2}$＜a≤$\frac{2}{3}$，
故a的最大值為$\frac{2}{3}$，
故答案為：$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查通過(guò)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題，屬于中檔題