Question

已知{a_n}是等比數(shù)列，a₁=3，a₄=24，數(shù)列{b_n}滿足：b₁=0，b_n+b_n+1=a_n，
（1）求證a_n=3×2^n-1；
（2）求證：b_n=2^n-1+（-1）ⁿ．

Answer 1

【答案】分析：（1）先判斷n=1時成立，然后假設(shè)當(dāng)n=k時成立，只要能證明出當(dāng)n=k+1時，立即可得到所有的正整數(shù)n，a_n=3×2^n-1都成立；
（2）類似（1）的證明：先判斷n=1時成立，然后假設(shè)當(dāng)n=k時成立，只要能證明出當(dāng)n=k+1時，立即可得到所有的正整數(shù)n，b_n=2^n-1+（-1）ⁿ都成立
解答：證明：（1）∵{a_n}是等比數(shù)列，a₁=3，a₄=24，
設(shè)公比為q，則3q³=24，∴q=2．   （2分）
∴a_n=3×2^n-1．   （2分）
（2）（數(shù)學(xué)歸納法）   （2分）
①當(dāng)n=1時，b₁=0=2^1-1+（-1）¹，結(jié)論成立．
②假設(shè)當(dāng)n=k時，結(jié)論成立即b_k=2^k-1+（-1）^k，則
∵b_n+b_n+1=a_n=3×2^n-1，∴2^k-1+（-1）^k+b_k+1=3×2^k-1，
∴b_k+1=2^k+（-1）^k+1，即當(dāng)n=k+1時，結(jié)論也成立．
綜合①②可知，b_n=2^n-1+（-1）ⁿ．   （2分）
點(diǎn)評：用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的步驟是：第一步，驗(yàn)證當(dāng)n=n時命題成立，第二步假設(shè)當(dāng)n=k時命題成立，那么再證明當(dāng)n=k+1時命題也成立．關(guān)鍵是第二步中要充分用上歸納假設(shè)的結(jié)論，否則會導(dǎo)致錯誤．