Question

17．已知函數(shù)y=$\sqrt{3}$sin4x+cos4x．
（1）求它的周期，最大值，最小值；
（2）求它的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）它可以由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變化得到？

Answer 1

分析 （1）首先，借助于輔助角公式，化簡函數(shù)解析式人，然后，確定其周期和最值；
（2）直接利用正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進(jìn)行確定即可；
（3）借助于三角函數(shù)的圖象變換進(jìn)行表述即可．

解答 解：（1）∵y=$\sqrt{3}$sin4x+cos4x．
=2sin（4x+$\frac{π}{6}$），
∴f（x）=2sin（4x+$\frac{π}{6}$）．
∴它的周期T=$\frac{2π}{4}$=$\frac{π}{2}$，最大值2，最小值-2；
（2）∵-$\frac{π}{2}$+2kπ≤4x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{2π}{3}$+2kπ≤4x≤$\frac{π}{3}$+2kπ，
∴-$\frac{π}{6}$+$\frac{1}{2}$kπ≤x≤$\frac{π}{12}$+$\frac{1}{2}$kπ，
∴單調(diào)遞增區(qū)間[-$\frac{π}{6}$+$\frac{1}{2}$kπ，$\frac{π}{12}$+$\frac{1}{2}$kπ]，k∈Z；
（3）將函數(shù)y=sinx的圖象上所以各點(diǎn)向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，然后，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來是的$\frac{1}{4}$倍，然后，再將所得函數(shù)圖象上所有各點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍即可．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查了輔助角公式、二倍角公式、三角函數(shù)的圖象變換等知識(shí)，屬于中檔題．