Question

如圖，棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=．
（1）求證：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角P﹣CD﹣B余弦值的大��；
（3）求點C到平面PBD的距離．

Answer 1

解：（1）建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）．
在Rt△BAD中，AD=2，BD=，
∴AB=2．∴B（2，0，0）、C（2，2，0），
∴
∵，即BD⊥AP，BD⊥AC，
又因為AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．
（2）由（1）得．
設(shè)平面PCD的法向量為，
則，
即，
∴，
故平面PCD的法向量可取為
∴PA⊥平面ABCD，
∴為平面ABCD的法向量．
設(shè)二面角P﹣CD﹣B的大小為θ，依題意可得．
（3）由（1）得，
設(shè)平面PBD的法向量為，
則，即，
∴x=y=z，故可取為．
∵，
∴C到面PBD的距離為