Question

用數(shù)學歸納法證明：

tanα·tan2α＋tan2α·tan3α＋…＋tan(n－1)α·tannα＝－n(n≥2，n∈N₊)．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)當n＝2時，左邊＝tanα×， 　　右邊＝， 　　等式成立． 　　(2)假設(shè)當n＝k時(k≥2，k∈N+)等式成立，即 　　tanα·tan2α＋tan2α·tan3α＋…＋tan(k－1)α·tankα＝－k， 　　則當n＝k＋1時， 　　tanα·tan2α＋tan2α·tan3α＋…＋tan(k－1)α·tankα＋tankα·tan(k＋1)α 　�。�－k＋tankα·tan(k＋1)α．(*) 　　因tanα＝tan[(k＋1)α－kα] 　�。剑�得 　　tankαtan(k＋1)α＝． 　　代入(*)式，得 　　右邊＝－(k＋1)， 　　即tanα·tan2α＋tan2α·tan3α＋…＋tan(k－1)α·tankα＋tankα·tan(k＋1)α＝－(k＋1)． 　　這就是說，當n＝k＋1時等式成立． 　　根據(jù)(1)(2)可知，對任意n≥2，n∈N+，等式成立．