Question

10．設函數(shù)f′（x）是奇函數(shù)f（x）（x∈R）的導函數(shù)，f（-1）=0，當x＞0時，xf′（x）-f（x）＜0，則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是（-∞，-1）∪（0，1）．

Answer 1

分析 構造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，利用g（x）的導數(shù)判斷函數(shù)g（x）的單調性與奇偶性，
畫出函數(shù)g（x）的大致圖象，結合圖形求出不等式f（x）＞0的解集．

解答 解：設g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，則g（x）的導數(shù)為：
g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵當x＞0時總有xf′（x）＜f（x）成立，
即當x＞0時，g′（x）恒小于0，
∴當x＞0時，函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$為減函數(shù)，
又∵g（-x）=$\frac{f（-x）}{-x}$=$\frac{-f（x）}{-x}$=$\frac{f（x）}{x}$=g（x），
∴函數(shù)g（x）為定義域上的偶函數(shù)
又∵g（-1）=$\frac{f（-1）}{-1}$=0，
∴函數(shù)g（x）的大致圖象如圖所示：
數(shù)形結合可得，不等式f（x）＞0?x•g（x）＞0
?$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{g（x）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{g（x）＜0}\end{array}\right.$，
?0＜x＜1或x＜-1．
∴f（x）＞0成立的x的取值范圍是（-∞，-1）∪（0，1）．
故答案為：（-∞，-1）∪（0，1）．

點評 本題考查了利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，并由函數(shù)的奇偶性和單調性解不等式的應用問題，是綜合題目．