Question

4．設(shè)點(diǎn)（a，b）是區(qū)域$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4≤0}\\{x＞0，y＞0}\end{array}\right.$內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)，函數(shù)f（x）=ax²-4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 求出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4≤0}\\{x＞0，y＞0}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域圖形的面積，再求出f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)時(shí)滿足的條件所表示的平面區(qū)域面積，利用幾何概型的概率公式求出概率即可．

解答 解：作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+y-4≤0}\\{x＞0，y＞0}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域如圖所示，
對(duì)應(yīng)的圖形為△OAB，其中對(duì)應(yīng)面積為S_△OAB=$\frac{1}{2}$×4×4=8，
若f（x）=ax²-4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，
則滿足a＞0且對(duì)稱軸x=-$\frac{-4b}{2a}$=$\frac{2b}{a}$≤1，
即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a≥2b}\end{array}\right.$，對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域?yàn)椤鱋BC，
由$\left\{\begin{array}{l}{a=2b}\\{a+b-4=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{8}{3}}\\{b=\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，
∴對(duì)應(yīng)的面積為S_△OBC=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{4}{3}$=$\frac{8}{3}$，
∴根據(jù)幾何概型的概率公式可知所求的概率為P=$\frac{\frac{8}{3}}{8}$=$\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二元一次不等式組表示平面區(qū)域的應(yīng)用問題，也考查了幾何概型的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．