Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，M、N分別是PC、AB的中點(diǎn).

求證：MN⊥平面PCD.

Answer 1

思路分析：證明線面垂直，需要證明線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直，即轉(zhuǎn)化為線線的垂直，非零空間向量的數(shù)量積為零可以解決線線垂直的關(guān)系.

證明:設(shè)=a,=b,=c,則{a,b,c}為空間的一個(gè)基底.

則=(a+b+c)=(a+c).

∵=b,=c-a,PA⊥矩形ABCD，

∴PA⊥AB，PA⊥AD.

且AB⊥AD.

∴a·b=0,b·c=0,c·a=0.

故·=(a+c)·b=(a·b+c·b)=0,

·=(a+c)·(c-a)=(|c|²-|a|²)=(||²-||²)=0.

∴MN⊥DC,MN⊥PD.

又DC∩PD=D，

∴MN⊥平面PCD.