Question

13．討論三次方程x³-9x-a=0解的個數(shù)，其中a為常數(shù)．

Answer 1

分析 三次方程x³-9x-a=0解的個數(shù)等價于y=x³-9x和y=a的圖象交點個數(shù)，導數(shù)法作出函數(shù)的圖象數(shù)形結(jié)合可得．

解答 解：三次方程x³-9x-a=0解的個數(shù)等價于y=x³-9x和y=a的圖象交點個數(shù)，
研究函數(shù)y=x³-9x，求導數(shù)可得y′=3x²-9=3（x+$\sqrt{3}$）（x-$\sqrt{3}$），
當x＜$-\sqrt{3}$時，y′＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
當-$\sqrt{3}$x＜$\sqrt{3}$時，y′＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
當x＞$\sqrt{3}$時，y′＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
由可求得當x=-$\sqrt{3}$時，函數(shù)取極大值y=6$\sqrt{3}$，
當x=$\sqrt{3}$時，函數(shù)取極小值y=-6$\sqrt{3}$，
結(jié)合函數(shù)y=x³-9x為R上的奇函數(shù)且過點（-3，0）和（3，0）作圖分析可得：
當a＜-6$\sqrt{3}$或a＞6$\sqrt{3}$時，函數(shù)圖象與y=a有1個交點，原方程有1個解；
當a=-6$\sqrt{3}$或a=6$\sqrt{3}$時，函數(shù)圖象與y=a有2個交點，原方程有2個解；
當-6$\sqrt{3}$＜a＜6$\sqrt{3}$時，函數(shù)圖象與y=a有3個交點，原方程有3個解．

點評 本題考查根的存在性及個數(shù)的判斷，轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點個數(shù)并用導數(shù)法畫出函數(shù)的圖象是解決問題的關鍵，屬中檔題．