Question

15．已知函數(shù)y=f（x）對(duì)于任意的$x∈（-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}）$滿足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式不成立的是（　　）

• A． $\sqrt{2}f（\frac{π}{3}）＜f（\frac{π}{4}）$
• B． $\sqrt{2}f（-\frac{π}{3}）＜f（-\frac{π}{4}）$
• C． $f（0）＜\sqrt{2}f（\frac{π}{4}）$
• D． $f（0）＜2f（\frac{π}{3}）$

Answer 1

分析 根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{cosx}$，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論

解答 解：構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{cosx}$，
則g′（x）=$\frac{f′（x）cosx-f（x）cos′（x）}{{cos}^{2}x}$=$\frac{1}{{cos}^{2}x}$[（f′（x）cosx+f（x）sinx]，
∵對(duì)任意的x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）滿足f′（x）cosx+f（x）sinx＞0，
∴g′（x）＞0，即函數(shù)g（x）在x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）單調(diào)遞增，
則②g（-$\frac{π}{3}$）＜g（-$\frac{π}{4}$），即$\frac{f（-\frac{π}{3}）}{cos（-\frac{π}{3}）}$＜$\frac{f（-\frac{π}{4}）}{cos（-\frac{π}{4}）}$，
∴$\frac{f（-\frac{π}{3}）}{\frac{1}{2}}$＜$\frac{f（-\frac{π}{4}）}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，即 $\sqrt{2}$f（-$\frac{π}{3}$））＜f（-$\frac{π}{4}$），故B正確；
③g（0）＜g（$\frac{π}{4}$），即$\frac{f（0）}{cos0}$＜$\frac{f（\frac{π}{4}）}{cos\frac{π}{4}}$，
∴f（0）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$），故③正確；
④g（0）＜g（$\frac{π}{3}$），即 $\frac{f（0）}{cos0}$＜$\frac{f（\frac{π}{3}）}{cos\frac{π}{3}}$，
∴f（0）＜2f（$\frac{π}{3}$），故④正確；
由排除法，
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，利用條件構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，有一點(diǎn)的難度．