Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：的左右焦點．
（1）設(shè)橢圓C上的點到F₁，F(xiàn)₂兩點距離之和等于，寫出橢圓C的方程；
（2）設(shè)過（1）中所得橢圓上的焦點F₂且斜率為1的直線與其相交于A，B，求△ABF₁的面積；
（3）設(shè)點P是橢圓C 上的任意一點，過原點的直線l與橢圓相交于M，N兩點，當(dāng)直線PM，PN的斜率都存在，并記為k_PN，k_PN試探究k_PN•k_PN的值是否與點P及直線l有關(guān)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用點在橢圓上，橢圓C上的點到F₁，F(xiàn)₂兩點距離之和等于，求出幾何量，即可求得橢圓C的方程；
（2）直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用，即可求△ABF₁的面積；
（3）利用M，N，P在橢圓上，代入橢圓方程，兩方程相減，再計算k_PN•k_PN的值，即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）由于點在橢圓上，所以（2分）
解得，（4分）
故橢圓C的方程為（5分）
（2）由（1）知橢圓C的左右焦點坐標(biāo)分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），|F₁F₂|=2
所以，過橢圓的焦點F₂且斜率為1的直線方程為y=x-1
將其代入，整理得3x²-4x=0，解得
當(dāng)x₁=0時，y₁=-1，當(dāng)時，
所以△ABF₁的面積：=（9分）
（3）過原點的直線L與橢圓相交的兩點M，N關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，
設(shè)M（x，y），N（-x，-y），P（x，y），
∵M，N，P在橢圓上，
∴
兩式相減得
又∵，
∴
故：k_PN•k_PN的值與點P的位置無關(guān)，同時與直線l無關(guān)．（14分）
點評：本題考查橢圓的定義，考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，考查點差法的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．