Question

在△ABC中，已知4cosCsin2

C

2

+cos2C=0
（1）求角C；
（2）若3ab=25-c²，且sinA=(

3

-1)sinB，求邊a，b，c．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二倍角公式化簡題中等式，可得cosC=

1

2

，結(jié)合C為三角形的內(nèi)角可得C=

π

3

；
（2）根據(jù)余弦定理c²=a²+b²-2abcosC的式子，與3ab=25-c²聯(lián)解得到a+b=5．根據(jù)sinA=(

3

-1)sinB利用正弦定理得到a=(

3

-1)b，從而解出a=5-

5 3

3

且b=

5 3

3

，再代入前面的等式即可解出c=5

2- 3

．

解答：解：（1）∵4cosCsin2

C

2

+cos2C=0，
∴根據(jù)二倍角公式化簡，可得2cosC（1-cosC）+2cos²C-1=0，解之得cosC=

1

2

，
由0＜C＜π，可得C=

π

3

；
（2）∵C=

π

3

，∴由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab，
又∵由已知3ab=25-c²，可得c²=3ab+25，
∴a²+b²-ab=3ab+25，整理得（a+b）²=25，解之得a+b=5．
∵sinA=(

3

-1)sinB
∴根據(jù)正弦定理，得a=(

3

-1)b，
∴a+b=

3

b=5，解得b=

5 3

3

，a=5-b=5-

5 3

3

．
代入c²=3ab+25，可得c=

3ab+25

=

3(5- 5 3 3 )• 5 3 3 +25

=5

2- 3

．
綜上所述，可得a=5-

5 3

3

，b=

5 3

3

，c=5

2- 3

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形的角滿足的三角函數(shù)關(guān)系式，求角C的大小并依此求三角形的三條邊的長．著重考查了二倍角的三角函數(shù)公式、利用正余弦定理解三角形等知識(shí)，屬于中檔題．