Question

16．在平面直角坐標系中，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=t-3\end{array}\right.$（t為參數(shù)），在以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C的極坐標方程為$ρ=\frac{2cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$．
（1）求曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程；
（2）若直線l與曲線C相交于A，B兩點，求弦長|AB|．

Answer 1

分析 （1）利用三種方程的互化方法，求曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程；
（2）將直線l的方程y=x-4代入曲線C的普通方程y²=2x，得x²-10x+16=0，利用韋達定理及弦長公式求弦長|AB|．

解答 解：（1）由曲線C的極坐標方程是：$ρ=\frac{2cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$，得ρ²sin²θ=2ρcosθ．
∴由曲線C的直角坐標方程是：y²=2x．由直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=t-3\end{array}\right.$，得t=3+y
代入x=1+t中消去t得：x-y-4=0，所以直線l的普通方程為：x-y-4=0-------（5分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線l的方程y=x-4代入曲線C的普通方程y²=2x，得x²-10x+16=0，所以x₁+x₂=10，x₁x₂=16，
∴$|{AB}|=\sqrt{1+1}|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{2}\sqrt{{{（{{x_1}+{x_2}}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=6\sqrt{2}$，

點評 本題考查三種方程的互化，考查直線與拋物線位置關(guān)系，考查弦長公式，屬于中檔題．