Question

如圖,在直徑為1的圓O中,作一關(guān)于圓心對稱、鄰邊互相垂直的十字形,其中y＞x＞0.

(1)將十字形的面積表示為θ的函數(shù);

(2)θ為何值時,十字形的面積最大?最大面積是多少?

Answer 1

(1)解:設(shè)S為十字形的面積,則

    S=2xy-x²=2sinθcosθ-cos²θ(＜θ＜).

(2)解法一:S=2sinθcosθ-cos²θ

    =sin2θ-cos2θ-

    =sin(2θ-φ)-,

   其中φ=arccos,

    當(dāng)sin(2θ-φ)=1,即2θ-φ=時,S最大.

    所以,當(dāng)θ=+arccos時,S最大,

    S的最大值為.

    解法二:因為S=2sinθcosθ-cos²θ,

    所以S′=2cos²θ-2sin²θ+2sinθcosθ=2cos2θ+sin2θ.

    令S′=0,即2cos2θ+sin2θ=0,

    可解得θ=+arctan(-2).

    所以,當(dāng)θ=+arctan(-2)時,S最大,S的最大值為.