Question

選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直線(xiàn)l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C相交于A，B兩點(diǎn)，又點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2）．
求：（1）線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）線(xiàn)段AB的長(zhǎng)；
（3）|PA-PB|的值．

Answer 1

【答案】分析：先將直線(xiàn)的參數(shù)方程化為（l為參數(shù)）的形式，此時(shí)，|l|的幾何意義為（a，b）點(diǎn)到（x，y）的距離，（1）設(shè)點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的參數(shù)為l₁，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的參數(shù)為l₂，將直線(xiàn)的參數(shù)方程代入曲線(xiàn)，利用韋達(dá)定理即可得l₁+l₂，而即為AB中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)，代入?yún)��?shù)方程可得中點(diǎn)坐標(biāo)；（2）AB的長(zhǎng)度即為AB參數(shù)差的絕對(duì)值，利用韋達(dá)定理代入求值即可；因?yàn)辄c(diǎn)P（1，2）在直線(xiàn)上，且點(diǎn)P在橢圓內(nèi)，故A、B兩點(diǎn)分布在點(diǎn)P兩側(cè)，即l₁與l₂異號(hào)，所以|PA-PB|的值即為l₁+l₂的絕對(duì)值，代入求值即可
解答：解：由題意可知，直線(xiàn)l的斜率為-，傾斜角為
∴直線(xiàn)l的參數(shù)方程可改寫(xiě)為（l為參數(shù)，|l|的幾何意義為（1，2）點(diǎn)到（x，y）的距離），
曲線(xiàn)C的普通方程為，
將直線(xiàn)方程代入曲線(xiàn)C的方程可得，，
設(shè)點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的參數(shù)為l₁，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的參數(shù)為l₂，
∵△＞0，∴，，
由參數(shù)l的幾何意義得
（1）中點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，代入直線(xiàn)參數(shù)方程得
∴線(xiàn)段AB中點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）弦AB的長(zhǎng)為AB=|l₁-l₂|===；
（3）∵點(diǎn)P（1，2）在直線(xiàn)上，且點(diǎn)P在橢圓內(nèi)，故A、B兩點(diǎn)分布在點(diǎn)P兩側(cè)，即l₁與l₂異號(hào)

∴．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線(xiàn)的參數(shù)方程，參數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用，橢圓的參數(shù)方程及其與一般方程的互化，韋達(dá)定理在解決解析幾何問(wèn)題中的重要應(yīng)用