Question

如圖,已知三棱柱ABC—A₁B₁C₁的所有棱長(zhǎng)都相等,且側(cè)棱垂直于底面,由B沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱CC₁到點(diǎn)A₁的最短路線長(zhǎng)為2,設(shè)這條最短路線與CC₁的交點(diǎn)為D.

(1)求三棱柱ABC—A₁B₁C₁的體積;

(2)在平面A₁BD內(nèi)是否存在過(guò)點(diǎn)D的直線與平面ABC平行？證明你的判斷;

(3)證明平面A₁BD⊥平面A₁ABB₁.

Answer 1

解:(1)如圖,將側(cè)面BB₁C₁C繞棱CC₁旋轉(zhuǎn)120°使其與側(cè)面AA₁C₁C在同一平面上,點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B₂的位置,連結(jié)A₁B₂,則A₁B₂就是由點(diǎn)B沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱CC₁到點(diǎn)A₁的最短路線.

設(shè)棱柱的棱長(zhǎng)為a,則B₂C=AC=AA₁＝a,∵CD∥AA₁,∴D為CC₁的中點(diǎn).

在Rt△A₁AB₂中,由勾股定理得A₁A²+AB₂²=A₁B₂²,

即a²+4a²=(2)²,解得a=2.

∵S_△ABC=×2²=,∴=S_△ABC·AA₁=2.

(2)設(shè)A₁B與AB₁的交點(diǎn)為O,連結(jié)BB₂,OD,則OD∥BB₂.∵BB₂平面ABC,OD平面ABC,

∴OD∥平面ABC,即在平面A₁BD內(nèi)存在過(guò)點(diǎn)D的直線與平面ABC平行. (其他解法請(qǐng)參照給分)

(3)連結(jié)AD,B₁D,

∵Rt△A₁C₁D≌Rt△BCD≌Rt△ACD,∴A₁D=BD=B₁D=AD.∴OD⊥A₁B,OD⊥AB₁.

∵A₁B∩AB₁=O,∴OD⊥平面A₁ABB₁.又∵OD平面A₁BD,∴平面A₁BD⊥平面A₁ABB₁.