Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，側(cè)面PAD是正三角形，且側(cè)面PAD⊥底面ABCD，E為側(cè)棱PD的中點．
（1）證明：PB∥平面EAC；
（2）求證：AE⊥平面PCD；
（3）若AD=AB，試求二面角A-PC-D的正切值．

Answer 1

分析：（1）證明：連接BD交AC于O，連接EO，則O為BD的中點，利用E為側(cè)棱PD的中點，可得線線平行，從而可得線面平行；
（2）先證明CD⊥側(cè)面PAD，從而可得面PDC⊥側(cè)面PAD，進而可證AE⊥平面PCD；
（3）在PC上取點M使得PM=

1

4

PC，連接AM，證明∠AME為二面角A-PC-D的平面角，在Rt△AEM中，即可求二面角A-PC-D的正切值．

解答：（1）證明：連接BD交AC于O，連接EO，則O為BD的中點
∵E為側(cè)棱PD的中點
∴EO∥

1

2

PB，且EO=

1

2

PB，
又PB?平面EAC，EO?平面EAC，∴PB∥平面EAC．    …（4分）

（2）證明：∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD
∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD，
∴CD⊥側(cè)面PAD
∵CD?面PDC，∴面PDC⊥側(cè)面PAD
正三角形PAD中，E為PD的中點，所以AE⊥PD，
∵面PDC∩面PAD=PD，∴AE⊥平面PCD．    …（9分）
（3）解：在PC上取點M使得PM=

1

4

PC．
由于正三角形PAD及矩形ABCD，且AD=AB，所以PD=AD=AB=DC
所以在等腰直角三角形DPC中，EM⊥PC，
連接AM，因為AE⊥平面PCD，所以AM⊥PC．
所以∠AME為二面角A-PC-D的平面角．…（12分）
在Rt△AEM中，tan∠AME=

AE

ME

=

3 2

1 2 × 2 2

=

6

．
即二面角A-PC-D的正切值為

6

…（14分）

點評：本題主要考查線面平行，線面垂直的證明方法．二面角的基本求法．考查學(xué)生的空間想象能力，識圖的能力，嚴密的邏輯思維能力．