Question

如圖所示，CD為Rt△ABC斜邊AB邊上的中線，CE⊥CD，CE=

10

3

，連接DE交BC于點F，AC=4，BC=3．
求證：（1）△ABC∽△EDC；   （2）DF=EF．

Answer 1

證明：（1）∵CD為Rt△ABC斜邊AB邊上的中線
∴CD=

1

2

AB=

1

2

AC2+BC2

=

5

2

．
∴

CE

CD

=

10 3

5 2

=

4

3

=

AC

BC

，∠ACB=∠DCE=90°．
∴△ABC∽△EDC．
（2）因為△ABC∽△EDC
∴∠B=∠CDE，∠E=∠A．
由CD為Rt△ABC斜邊AB邊上的中線得：CD=AD=DB?∠B=∠DCB，∠A=∠DCA


∴∠DCB=∠CDE?DF=CF；
又因為：∠DCA+∠DCB=∠DCB+∠BCE=90°；
∴∠DCA=∠BCE=∠A=∠E
∴CF=EF．
∴DF=EF．