Question

【題目】如圖，正方形ABCD的中心為O ， 四邊形OBEF為矩形，平面OBEF⊥平面ABCD ， 點G為AB的中點，AB=BE=2.

（1）求證：EG∥平面ADF；
（2）求二面角O-EF-C的正弦值；
（3）設(shè)H為線段AF上的點，且AH= HF ， 求直線BH和平面CEF所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】
（1）

解：證明：找到 中點 ，連結(jié) ，

∵矩形 ,∴

∵ 、 是中點，∴ 是 的中位線

∴ 且

∵ 是正方形 中心

∴

∴ 且

∴四邊形 是平行四邊形

∴

∵ 面

∴ 面

（2）

解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系

， ， ，

設(shè)面 的法向量

得：

∴

∵ 面 ，

∴面 的法向量

（3）

∵

∴

設(shè)

∴

得：

【解析】（1）取AD的中點I，連接FI，證明四邊形EFIG是平行四邊形，可得EG∥FI，利用線面平行的判定定理證明：EG∥平面ADF；
（2）建立如圖所示的坐標(biāo)系O﹣xyz，求出平面OEF的法向量，平面OEF的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；
（3）求出 =（﹣ ， ， ），利用向量的夾角公式求出直線BH和平面CEF所成角的正弦值
【考點精析】關(guān)于本題考查的直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角，需要了解平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能得出正確答案．