Question

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閧x|x∈R，且x≠0}對定義域內(nèi)的任意x₁，x₂，都有f （x₁·x₂）=f（x₁）+f（x₂），且當(dāng)x>1時，f（x）>0，f（2）=1。
（1）求證：f（x）是偶函數(shù)；
（2）求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（3）解不等式：f（2x²-1）<2。

Answer 1

解：（1）因?qū)Χ�義域內(nèi)的任意x₁，x₂都有 f（x₁·x₂）=f（x₁）+f（x₂），
令x₁=x，x₂=-1，則有 f（-x）=f（x）+f（-1）
又令x₁=x₂=-1，得2f（-1）=f（1）
再令x₁=x₂=1，得f（1）=0，從而f（-1）=0，
于是有f（-x）=f（x）
∴f（x）是偶函數(shù)；
 （2）設(shè)0<x₁<x₂，則f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-
由于0<x₁<x₂
∴
從而
故f（x₁）-f（x₂）<0，即f（x₁）<f（x₂）
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（3）由于f（2）=1，
所以2=1+1=f（2）+f（2）=f（4），
于是待解不等式可化為f（2x²-1）<f（4）
結(jié)合（1），（2）已證結(jié)論，得上式等價于|2x²-1|<4
解得。