Question

16．已知在等比數(shù)列{a_n}中，若a₁=128，a₈=1．
（1）求公比q和a₁₂；
（2）證明：依次取出數(shù)列{a_n}中的第1項，第4項，第7項，…，第3n-2項，…，所得的新數(shù)列{a_3n-2}（n∈N^*）仍然是一個等比數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列{a_n}中，a₁=128，a₈=1，即可求公比q和a₁₂；
（2）a_3n-2=2⁷•$（\frac{1}{2}）^{3n-3}$=2¹⁰•$（\frac{1}{2}）^{3n}$，利用等比數(shù)列的定義，即可證明結(jié)論．

解答 （1）解：∵等比數(shù)列{a_n}中，a₁=128，a₈=1，
∴q=$\frac{1}{2}$，
∴a₁₂=a₁•（$\frac{1}{2}$）¹¹=$\frac{1}{16}$；
（2）證明：∵a_3n-2=2⁷•$（\frac{1}{2}）^{3n-3}$=2¹⁰•$（\frac{1}{2}）^{3n}$，
∴$\frac{{a}_{3n-2}}{{a}_{3n-5}}$=$\frac{1}{8}$，
∴新數(shù)列{a_3n-2}（n∈N^*）仍然是一個等比數(shù)列．

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列的通項與證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．