Question

如圖所示為放置在豎直平面內(nèi)游戲滑軌的模擬裝置，滑軌由四部分粗細(xì)均勻的金屬桿組成，其中傾斜直軌AB與水平直軌CD長(zhǎng)均為L＝3m，圓弧形軌道APD和BQC均光滑，BQC的半徑為r＝1m，APD的半徑為R＝2m，AB、CD與兩圓弧形軌道相切，O₂A、O₁B與豎直方向的夾角均為q＝37°．現(xiàn)有一質(zhì)量為m＝1kg的小球穿在滑軌上，以初動(dòng)能E_k0從B點(diǎn)開始沿BA向上運(yùn)動(dòng)，小球與兩段直軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ＝，設(shè)小球經(jīng)過軌道連接處均無(wú)能量損失．求：（g＝10m/s²，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）

（1）要使小球完成一周運(yùn)動(dòng)回到B點(diǎn)，求初動(dòng)能E_K0至少多大；

（2）若小球以第一問E_k0數(shù)值從B出發(fā)，求小球第二次到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能及小球在CD段上運(yùn)動(dòng)的總路程．

Answer 1

（1）從B點(diǎn)開始到軌道最高點(diǎn)需要能量

E_k0＝mgR(1-cosq)+ mgLsinq +mmgLcosq……代入  解得E_k0＝30J     

從最高點(diǎn)向左返回B點(diǎn)設(shè)剩余動(dòng)能E_kBE_kB=mg2R-mgr(1+cosq)-mmgL=12J………

說明只要小球能從點(diǎn)上升到最高點(diǎn)以后就可以回到B點(diǎn)…………

要使小球完成一周運(yùn)動(dòng)回到B點(diǎn)，初動(dòng)能E_K0至少30J…       

（2）小球第一次回到B點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為12J，小球沿BA向上運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，距離B點(diǎn)為X[來(lái)源:ZXXK]

則有：E_kB=mmgXcosq+mgXsinq…………                     

X=m<3m  

   

小球掉頭向下運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小球第二次到達(dá)D點(diǎn)時(shí)動(dòng)能為

 

=12.6J     

小球第二次到D點(diǎn)后還剩12.6J的能量，沿DP弧上升一段后再返回DC段，到C點(diǎn)只剩下2.6J的能量�！�……                                        

 因此小球無(wú)法繼續(xù)上升到B點(diǎn)，滑到BQC某處后開始下滑，之后受摩擦力作用，小球最終停在CD上的某點(diǎn)。                    由動(dòng)能定理：E_KD=μ mg x …………                                

可得小球在CD上所通過的路程為x＝3.78m

小球通過CD段的總路程為X_總＝2L＋x＝9.78m……