Question

10．如圖，△ABC中，AC=2，把△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AB′C′，過點B′作BC的平行線，分別交AB、AC的延長線于D、E兩點，∠AED=120°，EB′=2$\sqrt{3}$，AB的長為2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 延長AC′，交BD′的延長線于F，根據(jù)已知求得∠AEB′=60°，∠F=30°，進(jìn)而求得△B′FC′是直角三角形，設(shè)C′F=x，則B′F=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，在RT△AEF中，解直角三角形求得cos∠F=$\frac{AF}{EF}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求得x的值，即可求得B′C′=2，得出AC′=B′C′，求得∠B′AC′=30°，得出∠EAB′=60°，根據(jù)等角對等邊，即可求得AB=2$\sqrt{3}$．

解答 解：延長AC′，交BD′的延長線于F，
∵∠AED=120°，
∴∠AEB′=60°，
∵∠EAF=90°，
∴∠F=30°，
∵BC∥DE，
∴∠ACB=∠AED=120°，
∴∠AC′B′=120°
∴∠B′C′F=60°，
∴∠C′B′F=90°，
∴B′C′=$\frac{1}{2}$C′F，B′F=$\frac{\sqrt{3}}{2}$C′F，
設(shè)C′F=x，則B′F=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∵AC=AC′=2，EB′=2$\sqrt{3}$，
∴AF=2+x，EF=2$\sqrt{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∴cos∠F=$\frac{AF}{EF}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即$\frac{2+x}{2\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}x}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得x=4，
∴B′C′=$\frac{1}{2}$x=2，
∴AC′=B′C′，
∵∠B′C′F=60°，
∴∠B′AC′=30°，
∴∠EAB′=60°，
∴∠EAB=∠AEB′
∴AB′=BE=2$\sqrt{3}$，
∴AB=2$\sqrt{3}$．
故答案為2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．