Question

如圖所示是某“湯勺”示意圖，由一細長柄AB與一半球BC構(gòu)成，且AB與半球相切，切點為B．已知半球的半徑為R，AB柄的長度為L，L：R=

8

：1，現(xiàn)用一細線系住A點，并將細線豎直懸掛，如果不計“湯勺”的質(zhì)量，則“湯勺”內(nèi)水的最大高度是（　�。�

• A．

  3

  4

  R
• B．

  2

  3

  R
• C．

  1

  2

  R
• D．

  1

  3

  R

Answer 1

分析：用細線懸掛“湯勺”時，細線延長線過“湯勺”的重心，過球形勺的球心；
根據(jù)題意作圖，根據(jù)數(shù)學(xué)知識求出“湯勺”內(nèi)水的最大高度．

解答：解：（1）過A作水面的垂線，垂足為E，垂線與BC交于點F，
水面與“湯勺”的另一交點為D，如圖所示．
（2）由作圖過程及數(shù)學(xué)知識可知：直線AE一定過半球的球心，
點F就是半球的球心BF=CF=R；由題意知：AB=L，L：R=

8

：1，
所以AB=

8

R，△CEF是直角三角形；
△ABF∽△CEF，由相似三角形的知識得：

AB

CE

=

BF

EF

，
所以CE=

AB

BF

EF=

8 R

R

EF=

8

EF，即CE=

8

EF；
在直角△CEF中，由勾股定理得：CE²+EF²=CF²，即：（

8

EF）2+EF²=R²，
則EF=

R

3

，則“湯勺”內(nèi)水的最大高度是h=R-EF=R-

R

3

=

2

3

R．
故選B．

點評：本題考查了求“湯勺”中水的深度，正確作圖、靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解題是本題解題的關(guān)鍵．