Question

13．某同學(xué)用一根兩端封閉的裝有少量水銀圓柱形玻璃管來制作密度計，它的長度為L，外直徑為d，管壁及上下兩端的厚度均為h，總重量為G．
（1）請你證明密度計的刻度是不均勻的（可用設(shè)計實驗方案的方法，也可用理論推導(dǎo)的方法．）
（2）若L=20×10^-2米，d=1.2×10^-2米，h=0.1×lO^-2米，并在管的下部裝有1×lO^-6米³的水銀．問用這樣的密度計所能測出的最小的液體密度是多大？（玻璃的密度為2.6×10³千克/米³，水銀的密度為13.6×10³千克/米³）

Answer 1

分析 （1）知道密度計的使用原理：密度計在使用時始終處于漂浮狀態(tài)，即浮力大小等于重力大小，浮力不變．
求密度計在純水中浸沒的深度；
設(shè)計實驗方案：取三種已知密度的液體，再用刻度尺量出任兩個刻度間的長度△L₁和△L₂，然后將它們進(jìn)行比較．
理論推導(dǎo)：利用密度計的浮力等于重力，求出排開液體體積的大小，再根據(jù)求出的體積，得出h的表達(dá)式，然后將它們進(jìn)行比較．然后分析即可得出在其它因素均不變的情況下，密度越小，深度越大．
（2）求出密度計玻璃材料的體積，當(dāng)密度計上部的圓柱形玻璃管全部浸沒液面下，所測液體密度值為最小，再利用物體的漂浮條件和阿基米德原理求解．

解答 （1）證明：
若用實驗來驗證：
先取三種已知密度的液體，將所要制作的密度計的圓柱體材料依次放入這三種液體中平衡時在此圓柱上對應(yīng)刻上這三個刻度ρ1、ρ2、P3．再用刻度尺量出任兩個刻度間的長度△L₁和△L₂，然后將它們進(jìn)行比較．若有長度差之比等于密度差，則密度計刻度是均勻的，如不相等則是不均勻．
理論推導(dǎo)：
由于密度計的原理是運(yùn)用漂浮在液面上的物體其所受到的物體的浮力等于物體的重力：
則有：V_排液=Sh，F(xiàn)_浮液=G，
即ρ_液gV_排液=G，
所以，ρ_液gSh=mg，
則h=$\frac{m}{{ρ}_{液}S}$----------①
由此可知：用浸入液體的深度h可以間接表示液體的密度，故可將h作為刻度．若刻度要是均勻，則h與被測液體密度ρ_液ρ應(yīng)成一次函數(shù)關(guān)系．從①可知h與ρ_液成反比，所以，密度計刻度是不均勻的．
（2）解：
密度計玻璃材料的體積為：
V_玻璃=$\frac{1}{4}$πd²L-$\frac{1}{4}$π（d-h）²（L-2h）=$\frac{1}{4}$×3.14×（1.2×10^-2m）²×20×10^-2m-$\frac{1}{4}$×3.14×（1.2×10^-2m-0.1×10^-2m）²×（20×10^-2m-2×0.1×10^-2m）=7.065×10^-6m²，
玻璃材料的重力為：G_玻璃=m_玻璃g=ρ_玻璃V_玻璃g=2.6×10³kg/m³×7.065×10^-6m²×9.8N/kg≈O．18N，
水銀的重力為：G_水銀=m_水銀g=ρ_水銀V_水銀g=13.6×10³kg/m³×1×10^-6m²×9.8N/kg≈O．133N，
此密度計的總重量為：G=G_水銀+G_玻=O．133N+O．18N=0.313N，
此密度計的總體積為：V=S（L+h）=$\frac{1}{4}$πd²L=$\frac{1}{4}$×3.14×（1.2×10^-2m）²×20×10^-2m=2.2608×10^-5m²，
當(dāng)將此密度計剛好全部沉人某液體中并達(dá)到平衡時，V_排=V，其所受浮力為F_浮=G=0.313N，
由F_浮=ρ_液V_排g得：
ρ_液=$\frac{{F}_{浮}}{Vg}$=$\frac{0.313N}{2.2608×1{0}^{-5}{m}^{3}×9.8N/kg}$≈1.4×10³kg/m³；
即為此密度計所能測出液體的最小密度是1.4×10³kg/m³．
答：用這樣的密度計所能測出的最小的液體密度是1.4×10³kg/m³．

點評 本題考查了液體密度的測量，涉及到物體浮沉條件、阿基米德原理等，會根據(jù)表達(dá)式得出判斷可得是否均勻是關(guān)鍵．