Question

1．將高為10cm的圓柱體甲放在水平地面上，細(xì)繩的一端系于圓柱體甲上表面的中央，另一端豎直拉著杠桿的A端．當(dāng)把質(zhì)量為800g的圓柱體乙懸掛在杠桿的B端并處于圓柱形容器M中時(shí)，杠桿在水平位置平衡，如圖所示，此時(shí)圓柱體甲對(duì)水平地面的壓強(qiáng)為3200Pa．把質(zhì)量為900g的水注入容器M中，水未溢出，水靜止后，水對(duì)容器M底面的壓強(qiáng)為2500Pa，圓柱體甲對(duì)水平地面的壓強(qiáng)為5000Pa．已知：AO：OB=2：3，容器M的底面積為60cm²，不計(jì)杠桿的質(zhì)量，g取10N/kg．
求：（1）求水注入容器M后，容器M中水的深度；
（2）圓柱體甲的體積為多少？
（3）圓柱體甲的密度為多少？

Answer 1

分析 根據(jù)水對(duì)容器M底面的壓強(qiáng)為2500Pa，利用壓強(qiáng)公式變形可求出注水后水面的高度h₁，然后利用密度公式求出沒(méi)有物體浸沒(méi)在水中時(shí)水面的高度h₂，則乙物體排開(kāi)水的體積為V_排=（h₁-h₂）×S_容器；然后將其代入浮力公式解得乙物體受到的浮力；
假設(shè)甲的密度為ρ_甲，底面積為S_甲；利用杠桿的平衡條件得出兩個(gè)關(guān)于ρ_甲、S_甲的方程，然后利用數(shù)學(xué)知識(shí)將S_甲消除，即可解得甲的密度，最后求出甲的體積．

解答 解：由液體壓強(qiáng)公式p=ρhg得：
容器M中水的深度h₁=$\frac{{p}_{1}}{{ρ}_{水}g}$=$\frac{2500Pa}{1.0×{10}^{3}kg/{m}^{3}×10N/kg}$=0.25m；
由ρ=$\frac{m}{V}$得：注入容器M中的水的體積V_水=$\frac{{m}_{水}}{{ρ}_{水}}$=$\frac{900g}{1g/{cm}^{3}}$=900cm³，
若圓柱體乙沒(méi)有浸入水時(shí)水的深度h₂=$\frac{{V}_{水}}{{S}_{容器}}$=$\frac{900{cm}^{3}}{60{cm}^{2}}$=15cm=0.15m，
則乙物體排開(kāi)水的體積為：V_排=（h₁-h₂）×S_容器=0.1m×0.006m²=0.0006m³，
圓柱體乙受到的浮力為F_浮=ρ_水V_排g=1.0×10³kg/m³×0.0006m³×10N/kg=6N；
圓柱體乙的重力為G_乙=m_乙g=0.8kg×10N/kg=8N，
灌水后乙物體對(duì)B點(diǎn)的拉力為F_乙′=G_乙-F_浮=8N-6N=2N，
容器M中注入水前，由杠桿的平衡條件F₁L₁=F₂L₂得：
 F_甲•AO=F_乙•OB，
即：（m_甲g-F_壓）•2=G_乙•3，
（ρ_甲•S_甲•0.1m×10N/kg-3200Pa•S_甲）×2=8N×3---------①
注水后根據(jù)杠桿的平衡條件得：
F_甲′AO=F_乙′OB，
即：（ρ_甲•S_甲•0.1m×10N/kg-5000Pa•S_甲）×2=2N×3-------②
由①②兩式解得，ρ_甲=5.6×10³kg/m³，S_甲=0.005m²．
所以，V_甲=S_甲•h_甲=0.005m²×0.1m=0.0005m³．
答：（1）水注入容器M后，容器M中水的深度為0.15m；
（2）圓柱體甲的體積為0.0005m³；
（3）圓柱體甲的密度為5.6×10³kg/m³．

點(diǎn)評(píng) 本題涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，考查杠桿的平衡條件、浮力大小的計(jì)算、液體壓強(qiáng)大小的計(jì)算的綜合運(yùn)用，屬于難度較大的題目．解題時(shí)注意浮力公式和液體壓強(qiáng)公式的靈活運(yùn)用．解答本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于求解注水后乙物體對(duì)杠桿的力的大小，再根據(jù)力的合成求出注水后乙物體對(duì)杠桿的力的大�。�然后即可求得圓柱體甲的密度．