Question

3．如圖甲的盛水燒杯，用圖丁所示臺秤稱出杯子總重為G₁；水中放入一個內空的金屬盒（盒壁實心），使之漂浮于水面靜止（如圖乙），稱出杯子總重為G₂；將金屬盒完全浸入水中（不帶出水），結果如圖丙所示，金屬盒沉于水底，此時稱出杯子的總重為G₃．由此可知G₂等于G₃（填“大于”“等于”或“小于”），若燒杯柱形部分橫截面積為S，甲、乙、丙、三種情況下燒杯內的水面高度分別是h₁、h₂、h₃，水的密度用ρ_水表示，則組成金屬盒的金屬密度為$\frac{{h}_{2}-{h}_{1}}{{h}_{3}-{h}_{1}}$ρ_水．（用題中字母表示）

Answer 1

分析 （1）把燒杯、燒杯內的水和金屬盒作為一個整體進行分析，比較G₂ 和G₃的大��；
（2）根據圖示，結合題意及物體浮沉條件和阿基米德原理得出金屬盒的質量和體積，利用密度公式計算其密度．

解答 解：
（1）無論金屬盒在水中的狀態(tài)如何，杯子的總重都等于燒杯、燒杯內的水和金屬盒的總重力，
燒杯、燒杯內的水的重力一定，金屬盒的重力一定，
所以，比較圖乙和圖丙可知，總重力相等，即G₂=G₃；
（2）設容器的底面積為S，
由圖甲和圖乙可知，水面升高的高度為h₂-h₁，金屬盒排開水的體積V_排=S（h₂-h₁）；
由物體浮沉條件和阿基米德原理可得，金屬盒的重力：G=F_浮=ρ_水gV_排=ρ_水gS（h₂-h₁），
則金屬盒的質量：m=$\frac{G}{g}$=$\frac{{ρ}_{水}gS（{h}_{2}-{h}_{1}）}{g}$=ρ_水S（h₂-h₁），
由圖甲和圖丙可知，金屬盒的體積V=V_排′=S（h₃-h₁），
則金屬盒的密度：ρ=$\frac{m}{V}$=$\frac{{ρ}_{水}S（{h}_{2}-{h}_{1}）}{S（{h}_{3}-{h}_{1}）}$=$\frac{{h}_{2}-{h}_{1}}{{h}_{3}-{h}_{1}}$ρ_水．
故答案為：等于；$\frac{{h}_{2}-{h}_{1}}{{h}_{3}-{h}_{1}}$ρ_水．

點評 此題主要考查阿基米德原理、物體浮沉條件及其應用，還涉及到重力、密度公式的應用，是一道綜合性較強的題目，關鍵是知道燒杯的總重力等于燒杯、燒杯內的水和金屬盒的總重力，并根據圖示，結合題意及物體浮沉條件和阿基米德原理得出金屬盒的質量和體積，是一道好題！