Question

2．如圖表示由很多R=1Ω的相同電阻組成的無窮網(wǎng)絡(luò)，求A、B間的總電阻R_AB？

Answer 1

分析 可以設(shè)R_AB=x，設(shè)想自A、B處按原網(wǎng)絡(luò)增加1格，即在A、B間再接一電阻R，并自A處向左接一電阻R至A₀，自B處向左接一電阻R至B₀，這樣，A₀、B₀的右側(cè)與A、B的右側(cè)均為一無窮網(wǎng)格，且結(jié)構(gòu)相同，所以應(yīng)有R_A0B0=R_AB=x，依上述組成法，R_A0B0應(yīng)等于R與x并聯(lián)后再與兩個R串聯(lián)的總電阻，據(jù)此列方程求解．

解答 解：
設(shè)R_AB=x，設(shè)想自A、B處按原網(wǎng)格增加1格，即在A、B間再接一電阻R，并自A處向左接一電阻R至A₀，自B處向左接一電阻R至B₀，如圖所示：

這樣，A₀、B₀的右側(cè)與A、B的右側(cè)均為一無窮網(wǎng)格，且結(jié)構(gòu)相同，所以應(yīng)有：
R_A0B0=R_AB=x，
依上述組成法，如下圖，

R_A0B0應(yīng)等于R與x并聯(lián)后再與兩個R串聯(lián)的總電阻，
即：x=2R+$\frac{Rx}{R+x}$，
x²-2Rx-2R²=0，
x²-2Rx+R²=3R²，
（x-R）²=3R²，
x-R=±$\sqrt{3}$R，
x=R±$\sqrt{3}$R，
可得x=R+$\sqrt{3}$R，（x=R-$\sqrt{3}$R，因是負數(shù)舍去）
答：A、B間的總電阻R_AB為R+$\sqrt{3}$R．

點評 本題為無窮網(wǎng)絡(luò)的計算，設(shè)想自A、B處按原網(wǎng)格增加1格，與原網(wǎng)絡(luò)相同是解題的突破口．