如圖所示，一個質量為m的圓環(huán)套在一根固定的水平粗糙直桿上，現(xiàn)給環(huán)一個向右的初速度v₀，如果在運動過程中還受到一個方向始終豎直向上的力F的作用，已知力F的大小F=kv（k為常數(shù)，v為環(huán)的運動速度），物體的動能與速度的關系為： $數(shù)學公式$ ，則環(huán)在整個運動過程中克服摩擦力所做的功（假設桿足夠長）可能為

A.
$數(shù)學公式$
B.
0
C.
$數(shù)學公式$
D.
$數(shù)學公式$

ABC
分析：根據受力分析確定環(huán)的運動情況，當環(huán)受到合力向下時，隨著環(huán)做減速運動向上的拉力逐漸減小，環(huán)將最終靜止，當環(huán)所受合力向上時，隨著環(huán)速度的減小，豎直向上的拉力逐漸減小，當環(huán)向上的拉力減至和重力大小相等時，此時環(huán)受合力為0，桿不再給環(huán)阻力環(huán)將保持此時速度不變做勻速直線運動，當環(huán)在豎直方向所受合力為0時，環(huán)將一直勻速直線運動，分三種情況對環(huán)使用動能定理求出阻力對環(huán)做的功即可．
解答：根據題意關于小環(huán)的運動狀態(tài)，根據環(huán)受豎直向上的拉力F與重力mg的大小分以下三種情況討論：
（1）當mg=kv₀時，即v₀= $\text{[math]}$ 時，環(huán)做勻速運動，摩擦力為零，W_f=0，環(huán)克服摩擦力所做的功為零；
（2）當mg＞kv₀時，即v₀＜ $\text{[math]}$ 時，環(huán)在運動過程中做減速運動，直至靜止．由動能定理得環(huán)克服摩擦力所做的功為W_f= $\text{[math]}$ ；
（3）當mg＜kv₀時，即v₀＞ $\text{[math]}$ 時，環(huán)在運動過程中先做減速運動，當速度減小至滿足mg=kv時，即v= $\text{[math]}$ 時環(huán)開始做勻速運動．由動能定理得摩擦力做的功
W_f= $\text{[math]}$ mv²- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ，即環(huán)克服摩擦力所做的功為 $\text{[math]}$ ．
故選ABC．
點評：注意當環(huán)在豎直方向所受合力為0時，此時桿對環(huán)不再有阻力作用，環(huán)在水平方向受平衡力，將保持此時的速度做勻速直線運動，由此可分三種情況對環(huán)進行受力分析從而確定環(huán)的受力情況和運動情況，根據動能定理求解克服阻力所做的功即可．

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