Question

（本小題滿分14分）
已知數(shù)列，滿足，其中.
（Ⅰ）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若，且.
（�。┯�，求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
（ⅱ）若數(shù)列中任意一項(xiàng)的值均未在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無(wú)數(shù)次. 求首項(xiàng)應(yīng)滿足的條件.

Answer 1

（1）
（2）設(shè)集合，
當(dāng)時(shí)，數(shù)列中必有某數(shù)重復(fù)出現(xiàn)無(wú)數(shù)次.
當(dāng)時(shí)，均為單調(diào)數(shù)列，任意一個(gè)數(shù)在這6個(gè)數(shù)列中最多出現(xiàn)一次，所以數(shù)列中任意一項(xiàng)的值均未在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無(wú)數(shù)次.解析:
解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，有
 …………2分
.                             ………………3分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/imagenew2/czwl/9/11469.gif" >也滿足上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)為.………………4分
（Ⅱ）（ⅰ）因?yàn)閷?duì)任意的有，  ……………5分
所以
，
所以數(shù)列為等差數(shù)列.                                    ………………7分
（ⅱ）設(shè)，（其中為常數(shù)且），所以

所以數(shù)列均為以7為公差的等差數(shù)列.                    ………………9分
設(shè)，
（其中，為中的一個(gè)常數(shù)），
當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的有；                ………………10分
當(dāng)時(shí)，

………………11分
①若，則對(duì)任意的有，所以數(shù)列為單調(diào)減數(shù)列；
②若，則對(duì)任意的有，所以數(shù)列為單調(diào)增數(shù)列……12分
綜上：設(shè)集合，
當(dāng)時(shí)，數(shù)列中必有某數(shù)重復(fù)出現(xiàn)無(wú)數(shù)次.
當(dāng)時(shí)，均為單調(diào)數(shù)列，任意一個(gè)數(shù)在這6個(gè)數(shù)列中最多出現(xiàn)一次，所以數(shù)列中任意一項(xiàng)的值均未在該數(shù)列中重復(fù)出現(xiàn)無(wú)數(shù)次. ………14分