Question

5．如圖，△ABC中，AB=6，AC=8，分別以AB、AC為一邊向外作等腰△ADB和等腰△ACE，AD=AB，AE=AC，且∠DAB=∠EAC=x，∠BAC=y（其中2x+y＜180°）．
（1）若∠DAE=120°，則△ADE的面積是12$\sqrt{3}$；
（2）若x=40°，y=50°，判斷△ABC和△ADE的面積是否相等，并說明理由；
（3）當(dāng)x，y具備怎樣的數(shù)量關(guān)系時，△ABC和△ADE的面積一定相等？（直接寫出答案，不必證明）．

Answer 1

分析 （1）作EG⊥DA于G，求出EG，利用S_△AED=$\frac{1}{2}$•AD•EG即可解決．
（2）作CM⊥AB于M，先證明△ACM≌△AEG得GE=CM，由${S}_{△ADE}=\frac{1}{2}•AD•GE$，${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}•AB•CM$即可證明．
（3）結(jié)論：x+y=90°，只要證明∠CAM=∠GAE，利用∠DAB+∠BAC+∠CAE+∠GAE=180°即可證明．

解答 （1）解：作EG⊥DA于G．
∵∠DAE=120°，
∴∠EAG=180°-∠DAE=60°，
在RT△AEG中，∵AE=AC═8，∠GAE=60°，∠G=90°，
∴∠AEG=30°，AG=4，EG=4$\sqrt{3}$，
∴S_△AED=$\frac{1}{2}$•AD•EG=$\frac{1}{2}$×$6×4\sqrt{3}$=12$\sqrt{3}$．
故答案為12$\sqrt{3}$．
（2）結(jié)論：△ABC和△ADE的面積相等，理由如下：
證明：作CM⊥AB于M，
∵x=40°，y=50°，
∴∠DAE=130°，∠GAE=50°，
在△ACM和△AEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CMA=∠G=90°}\\{∠CAM=∠GAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△AEG，
∴GE=CM，
∵${S}_{△ADE}=\frac{1}{2}•AD•GE$，${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}•AB•CM$，AD=AB，
∴△ABC和△ADE的面積相等．
（3）結(jié)論：x+y=90°，利用如下：
證明：∵${S}_{△ADE}=\frac{1}{2}•AD•GE$，${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}•AB•CM$，AD=AB，
∴CM=GE，
在RT△CAM和RT△EAG中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AE}\\{CM=GE}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△AEG，
∴∠CAM=∠GAE，
∵∠DAB+∠BAC+∠CAE+∠GAE=180°，
∴2x+2y=180，
∴x+y=90°．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、以及三角形面積等知識，正確作出三角形的高是解決問題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．