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如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點P為對角線AC上一動點，PE⊥PF分別交AD、AB于E、F，求

PE

PF

的值．

（1）閱讀證明
①如圖1，在△ABC所在平面上存在一點P，使它到三角形三頂點的距離之和最小，則稱點P為△ABC的費馬點，此時PA+PB+PC的值為△ABC的費馬距離．
②如圖2，已知點P為等邊△ABC外接圓的

BC

上任意一點．求證：PB+PC=PA．
（2）知識遷移
根據(jù)（1）的結論，我們有如下探尋△ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°）的費馬點和費馬距離的方法：
第一步：如圖3，在△ABC的外部以BC為邊長作等邊△BCD及其外接圓；
第二步：在

BC

上取一點P₀，連接P₀A，P₀B，P₀C，P₀D．易知P₀A+P₀B+P₀C=P₀A+（P₀B+P₀C）=P₀A+；
第三步：根據(jù)（1）①中定義，在圖3中找出△ABC的費馬點P，線段的長度即為△ABC的費馬距離．
（3）知識應用
已知三村莊A，B，C構成了如圖4所示的△ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°），現(xiàn)選取一點P打水井，使水井P到三村莊A，B，C所鋪設的輸水管總長度最�。�求輸水管總長度的最小值．

如圖，P是等腰△ABC內(nèi)一點，AB=BC，連接PA，PB，PC．

（1）如圖1，當∠ABC=90°時，將△PAB繞B點順時針旋轉90°，畫出旋轉后的圖形；
（2）在（1）中，若PA=2，PB=4，PC=6，求∠APB的大��；
（3）當∠ABC=60°時，且PA=3，PB=4，PC=5，則△APC的面積是（直接填答案）

商場某種商品平均每天可銷售60件，每件盈利100元．為了盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價1元，商場平均每天可多售出 2件．據(jù)此規(guī)律，請回答：
（1）商場日銷售量80件，商場日盈利可達到元（直接填答案）；
（2）每件商品降價多少元時，商場日盈利可達到8400元？
（3）若商場日盈利a元，求a的最大值．

如圖，AB是圓O的直徑，AB=10，點C是圓O上一動點（與A，B不重合），∠ACB的平分線交圓O于D．
（1）判斷△ABD的形狀，并證明你的結論；
（2）若I是△ABC的內(nèi)心，當點C運動時，CI、DI中是否存在長度保持不變的線段？如果存在，請指出并求其長度；如果不存在，請說明理由．

如圖，在直角坐標系中，四邊形ABCD的頂點坐標分別為A（-2，4），B（-4，2），C（-1，1），D（0，3），A′（2，0）為點A關于點P的中心對稱點．
（1）寫出對稱中心P點坐標；
（2）畫出四邊形ABCD關于點P中心對稱的四邊形A′B′C′D′，B的對稱點為B′，C的對稱點為C′，D的對稱點為D′；
（3）（2）中的線段A′B′也可以看作由線段BA平移得到，請說明線段BA平移的方式．

如圖，分別以△ABC的邊AB、AC向外作等邊△ABE和等邊△ACD，求證：BD=CE．

計算

8

+2

1 2

-6

1 3

．

如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC．
 ①若∠A=90°，AB+CD=BC，則以AD為直徑的圓與BC相切；
 ②若∠A=90°，當以AD為直徑的圓與BC相切，則以BC為直徑的圓也與AD相切；
 ③若以AD為直徑的圓與BC相切，則AB+CD=BC；
 ④若以AD為直徑的圓與BC相切，則以BC為直徑的圓與AD相切．
以上判斷正確的個數(shù)有（　�。�